Certains articles sont des textes de problèmes. Les titres soulignés sont disponibles en cliquant dessus, les autres sont en cours d'écriture ou de réécriture. D'autre part, même si certains sujets sont d'apparence classique, les aspects abordés ne le sont pas forcément. Les articles écrits pour les TIPE sont en clair.
Fonctions
analytiques, revêtements et systèmes dynamiques
où l'on démontre
que l'intérieur de la cardioïde principale est
contenu dans l'ensemble de Mandelbrot avec des techniques aux
programmes des classes préparatoires.
Perturbations
des équations différentielles linéaires.
Application au comportement asymptotique de solutions
d'équations différentielles linéaires
d'ordre 2 et du comportement asymptotique des polynômes
d'Hermite.
Sur
une suite récurrente classique de polynômes
: estimation asymptotique d'une borne supérieure.
Sur
le théorème de Farkas [problème]:
dont on donne une preuve non topologique.
Sur
les opérateurs auto-adjoints d'un espace de Hilbert
réel : on prouve la non vacuité du
spectre et on établit un lien entre la positivité
des valeurs spectrales et celle de l'opérateur.
Sur
une propriété de supplémentaire stable en
dimension finie.
Sur
les théorèmes d'interversion de symboles
: on donne des preuves des théorèmes de
convergence dominée et autres qui utilisent uniquement
les programmes des premiers cycles et des classes
préparatoires à l'exclusion de toute théorie
de l'intégrale de Lebesgue.
Comportements
asymptotiques de suites et séries de fonctions :
ainsi que d'intégrales dépendant d'un paramètre.
Pour ceux qui veulent approfondir le sujet.
Quelques
compléments sur les développements en série
entière :
Détermination
de certains rayons de convergence
Sur
les fonctions absolument monotones
Sur les polynômes de Laguerre : Preuve
de la quantification des niveaux d'énergie.
Sur les polynômes de Legendre [Problème]
: Fonction génératrice
des polynômes de Legendre avec détermination
exacte du rayon de convergence. Estimation asymptotique de la
suite des polynômes de Legendre. Développements
en séries de tels polynômes.
Solution
[Utilisant : Détermination de
certains rayons de convergence ci-dessus]
Sur
la décomposition de Bruhat du groupe linéaire
[probléme] :
où l'on décrit un algorithme qui permet
d'obtenir une telle décomposition.
Solution
[Par
Martine Pagès, Lycée Masséna Nice]
Sur le théorème
de Hardy-Landau : Une preuve très simple
Sur
les opérateurs de Hilbert-Schmidt
On prouve un
résultat de développement en série de
fonctions propres orthogonales pour un opérateur de
Fredholm à noyau symétrique. Quelques
applications à la physiques : développement
en série de fonctions de Bessel, diffusion de la
chaleur dans des sphères.
Sur
les partitions d'un entier :
Réponse à une question posée par
un visteur du site.
Exemple
d'étude expérimentale d'une suite de fonctions à
l'aide de Maple : Un exercice classique revu
et amélioré avec des moyens actuels.
Etude
des sous espaces de dimension maximale de
dont
tous les éléments ont un rang majoré
: problème
Méthodes
« discret-continu » pour des problèmes
d'estimation et de répartition asymptotique.
Ce texte étudie en particulier des heuristiques
probabilistes liées au théorème
central-limite et des techniques d'étude de la
répartition asymptotique des racines des suites de
polynômes orthogonaux.